MathExpA

作业2 矩阵代数(课本第三章)

1(课本习题1)

设a=(1, 2, 3), b=(2, 4, 3), 分别计算a./b, a. \b, a/b, a \b,分析结果的意义.

答：

a./b: a中的每一个元素除以b中的对应元素

a.\b: b中的每一个元素除以a中的对应位置的元素

a/b: a左除b，即矩阵方程ax=b的解

a\b: a右除b，即矩阵方程Xa=b的解

输出：

ans = 1×3

​ 0.5000 0.5000 1.0000

ans = 1×3

​ 2 2 1

ans = 0.6552

ans = 3×3

​ 0 0 0

​ 0 0 0

0.6667 1.3333 1.0000

2(课本习题2)

用矩阵除法解下列线性方程组，判断解的意义，并用矩阵乘法验算:

(1) $\begin{pmatrix}4 & 1 & - 1 \\ 3 & 2 & - 6 \\1 & - 5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}9 \\ - 2 \\1\end{pmatrix}$

定义函数：

function solution_status = check_unique_solution(A, b)
    % 计算系数矩阵A的秩
    rankA = rank(A);
    % 构造增广矩阵[A, b]并计算其秩
    rankAB = rank([A, b]);
    
    % 判断方程组的解的情况
    if rankA == rankAB
        % 如果系数矩阵A和增广矩阵[A, b]的秩相等，方程组有唯一解
        if rankA < size(A, 1)  % 未知数个数
            solution_status = '无穷多解';
        else
            solution_status = '唯一解';
        end
    elseif rankA < rankAB
        % 如果系数矩阵A的秩小于增广矩阵[A, b]的秩，方程组无解
        solution_status = '无解';
    end
end

代码：

A=[4 1 -1;3 2 -6;1 -5 3];
b=[9;-2;1];
solution_status = check_unique_solution(A, b)
x=A\b
A*x

输出：

solution_status = '唯一解'

x = 3×1

​ 2.3830

​ 1.4894

​ 2.0213

ans = 3×1

​ 9.0000

​ -2.0000

​ 1.0000

(2) $\begin{pmatrix}4 & - 3 & 3 \\3 & 2 & - 6 \\1 & - 5 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 1 \\ - 2 \\1\end{pmatrix}$;

代码：

A=[4 -3 3;3 2 -6;1 -5 3];
b=[-1;-2;1];
solution_status = check_unique_solution(A, b)
x=A\b
A*x

输出：

solution_status = '唯一解'

x = 3×1

​ -0.4706

​ -0.2941

​ 0

ans = 3×1

​ -1

​ -2

​ 1

(3) $\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & - 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$;

代码：

A=[4 1;3 2;1 -5];
b=[1;1;1];
solution_status = check_unique_solution(A, b)
x=A\b
A*x

输出：

solution_status = '无解'

x = 2×1

0.3311

-0.1219

ans = 3×1

1.2026

0.7497

0.9404

(4) $\begin{pmatrix}\begin{matrix}2 & 1 \\1 & 2 \\1 & 1\end{matrix} & \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ 2 & 1 \end{matrix} \end{pmatrix}\left( \begin{array}{r} \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix} \\ x_{4} \end{array} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$;

代码：

A=[2 1 -2 1;1 2 1 -1;1 1 2 1];
b=[1;2;3];
solution_status = check_unique_solution(A, b)
x=A\b
A*x

输出：

solution_status = '唯一解'

x = 4×1

​ 1.2727

​ 0

​ 0.8182

​ 0.0909

ans = 3×1

​ 1.0000

​ 2.0000

​ 3.0000

3(课本习题6)

求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量；

(1) $\begin{pmatrix} 4 & 1 & - 1 \\ 3 & 2 & - 6 \\ 1 & - 5 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix}1 & 1 & - 1 \\ 0 & 2 & - 1 \\ - 1 & 2 & 0\end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix}5&7&6&5\\ 7&10&8&7\\ 6&8&10&9\\ 5&7&9&10\end{pmatrix}$

(1)代码：

function matrixProperties(A)
    % 检查输入是否为方阵
    [m, n] = size(A);
    if m ~= n
        error('输入必须为方阵');
    end

    % 计算行列式
    detA = det(A);
    fprintf('行列式为: %f\n', detA);

    % 如果行列式不为零，计算并打印逆矩阵
    if detA ~= 0
        invA = inv(A);
        fprintf('逆矩阵为:\n');
        disp(invA);
    else
        fprintf('矩阵不可逆\n');
    end

    % 计算并打印特征值和特征向量
    [V, D] = eig(A);
    fprintf('特征值为:\n');
    disp(diag(D));
    fprintf('特征向量为:\n');
    disp(V);
end

A=[4 1 -1; 3 2 -6; 1 -5 3];
matrixProperties(A)

输出：

行列式为: -94.000000

逆矩阵为:

​ 0.2553 -0.0213 0.0426

​ 0.1596 -0.1383 -0.2234

​ 0.1809 -0.2234 -0.0532

特征值为:

​ -3.0527

​ 3.6760

​ 8.3766

特征向量为:

​ 0.0185 -0.9009 -0.3066

​ -0.7693 -0.1240 -0.7248

​ -0.6386 -0.4158 0.6170

(2)代码：

A=[1 1 -1; 0 2 -1; -1 2 0];
matrixProperties(A)

输出：

行列式为: 1.000000

逆矩阵为:

​ 2.0000 -2.0000 1.0000

​ 1.0000 -1.0000 1.0000

​ 2.0000 -3.0000 2.0000

特征值为:

​ 1.0000 + 0.0000i

​ 1.0000 + 0.0000i

​ 1.0000 - 0.0000i

特征向量为:

​ 0.5774 + 0.0000i 0.5773 + 0.0000i 0.5773 - 0.0000i

​ 0.5774 + 0.0000i 0.5773 + 0.0000i 0.5773 - 0.0000i

​ 0.5773 + 0.0000i 0.5774 + 0.0000i 0.5774 + 0.0000i

(3)代码：

A=[5 7 6 5; 7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10]; matrixProperties(A)

输出：

行列式为: 1.000000

逆矩阵为:

​ 68.0000 -41.0000 -17.0000 10.0000

-41.0000 25.0000 10.0000 -6.0000

-17.0000 10.0000 5.0000 -3.0000

​ 10.0000 -6.0000 -3.0000 2.0000

特征值为:

​ 0.0102

​ 0.8431

​ 3.8581

​ 30.2887

特征向量为:

​ 0.8304 0.0933 0.3963 0.3803

​ -0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286

​ -0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520

​ 0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209

4(课本习题7)

判断第3题各小题的矩阵是否可以相似对角化，如果可以，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵.

定义函数：

function diagonalizeMatrix(A)
    % 检查输入是否为方阵
    [m, n] = size(A);
    if m ~= n
        error('输入必须为方阵');
    end

    % 计算特征值和特征向量
    [V, D] = eig(A);
    array = eig(A)';
    uniqueArray = unique(abs(array));

    % 检查特征向量的个数是否等于矩阵的阶数
    if rank(V) == min(m,n) && length(array) == length(uniqueArray)
        fprintf('矩阵可以对角化\n');
        fprintf('对角矩阵为:\n');
        disp(D);
        fprintf('相似变换矩阵为:\n');
        disp(V);
    else
        fprintf('矩阵不可对角化\n有重根');
        disp(array);
    end
end

(1)代码：

A=[4 1 -1; 3 2 -6; 1 -5 3];
diagonalizeMatrix(A)

输出：

矩阵可以对角化

对角矩阵为:

​ -3.0527 0 0

​ 0 3.6760 0

​ 0 0 8.3766

相似变换矩阵为:

​ 0.0185 -0.9009 -0.3066

​ -0.7693 -0.1240 -0.7248

​ -0.6386 -0.4158 0.6170

(2)代码：

A=[1 1 -1; 0 2 -1; -1 2 0];
diagonalizeMatrix(A)

输出：

矩阵不可对角化

有重根 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i

(3)代码：

A=[5 7 6 5; 7 10 8 7;6 8 10 9;5 7 9 10];
diagonalizeMatrix(A)

输出：

矩阵可以对角化

对角矩阵为:

​ 0.0102 0 0 0

​ 0 0.8431 0 0

​ 0 0 3.8581 0

​ 0 0 0 30.2887

相似变换矩阵为:

​ 0.8304 0.0933 0.3963 0.3803

​ -0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286

​ -0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520

​ 0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209

5(课本习题9)

求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示；

$\alpha_{1}$=(4, -3, 1, 3), $\alpha_{2}$=(2, -1, 3, 5), $\alpha_{3}$=(1,-1, -1, -1), $\alpha_{4}$=(3, -2, 3, 4), $\alpha_{5}$=(7, -6, -7, 0).

代码：

function vectorProperties(V)
    % 求向量组的秩
    r = rank(V);
    fprintf('向量组的秩为: %d\n', r);
    
    % R: 行化简后的阶梯型; j: 主元
    [R, j] = rref(V);
    
    % 打印最大线性无关组
    fprintf('最大线性无关组为:\n');
    disp(V(:,j));
    
    num_vectors = size(V, 2);

    for a = setdiff(1:num_vectors, j)
        % 输出当前向量的编号
        fprintf("a%d用该最大无关组线性表示为\n", a);
        term_count = 1;
        
        % 遍历当前向量对应的系数
        for b = R(:, a)'
            if b ~= 0
                % 格式化输出系数和向量编号
                if b > 0 && term_count ~= 1
                    fprintf("+%d*a%d", round(b), term_count)
                else
                    fprintf("%d*a%d", round(b), term_count)
                end
                % 更新向量编号
                term_count = term_count + 1;
            end
        end
        fprintf("\n");
    end
end

a1 = [4;-3; 1; 3];
a2 = [2; -1; 3; 5];
a3 = [1; -1; -1; -1];
a4 = [3; -2; 3; 4];
a5 = [7; -6; -7; 0];
A = [a1,a2,a3,a4,a5];
vectorProperties(A);

输出：

向量组的秩为: 3

最大线性无关组为:

​ 4 2 3

​ -3 -1 -2

​ 1 3 3

​ 3 5 4

a3用该最大无关组线性表示为

1*a1-1*a2

a5用该最大无关组线性表示为

5*a1+1*a2-5*a3

6(课本习题10)

(二次型标准化) 用正交变换化下列二次型为标准形:

$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right) = x_{1}^{2} - 4x_{1}x_{2} + 4x_{1}x_{3} - 2x_{2}^{2} + 8x_{2}x_{3} - 2x_{3}^{2}$.

代码：

A = [1 -2 2;-2 -2 4;2 4 -2]
[Q,D]=schur(A)

输出：

A = 3×3

​ 1 -2 2

​ -2 -2 4

​ 2 4 -2

Q = 3×3

​ 0.3333 0.8944 -0.2981

​ 0.6667 -0.4472 -0.5963

​ -0.6667 0 -0.7454

D = 3×3

​ -7.0000 0 0

​ 0 2.0000 0

​ 0 0 2.0000

经过正交变换X=QY，二次型化为标准型：$f\left( x_{1},x_{2},x_{3} \right) = - 7x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 2x_{3}^{2}$

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